Quien invento el teorema de pitagoras

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Concepto:En toda triángulo rectángulo ns cuadrado ese la longitud después la hipotenusa denominada igual uno lasuma ese los cuadrados ese las respectivas longitudes ese los catetos.

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Teorema ese Pitágoras. Proposición que compara ese tres lados después un triangulos rectángulo, y establecido que los cuadrado del la pantalones largos c del la hipotenusa AB denominada igual uno la suma del los cuadrados del las respectivas largo a y b ese sus catetos CB y CA: c2 = a2 + b2


Historia

El Teorema después Pitágoras es decir descubierto aproximadamente en los año 500 a.n.e y lleva esta nombre causada su descubrir recae para la colegio pitagórica. Si está bien los pitagóricos alguna descubrieron esta teorema (ya era conoce y aplicado en Babilonia y la India son de hacía un cronometraje considerable), consiguió fueron ese primeros dentro encontrar una demostración formal de teorema. ~ demostraron los converso después teorema (si ese lados después un triangles satisfacen la ecuación, entonces el triángulo denominaciones recto).

Aplicaciones

El teorema ese Pitágoras combinación numerosas aplicaciones, qué el cálculo de la medida ese los lados ese un triángulo o después magnitudes dentro otros polígonos.

Conociendo la hipotenusa y uno cateto, cálculo el otro cateto

A partir de la idiomática general después teorema después Pitágoras, despejamos der catetos a y b:Si c2=a2+b2 tenemos que




Reconocimiento después triángulos rectángulos.

Un triángulo es rectángulo sí señor sus lados verifican la relación del teorema del Pitágoras.Si c2 ≠ a2 + b2, después puede ocurrir que:

c2 > a2 + b2, el zona del cuadrado encima la hipotenusa eliminar mayor los la suma después las zona de los cuadrados construidos para los catetos. Los triángulo eliminar obtusángulo.c2 2 + b2, el área del cuadrado acerca la hipotenusa denominada menor los la suma después las rangos de los cuadrados construidos acerca los catetos. Ns triángulo denominada acutángulo.

Aplicaciones en Geometría

Geométricamente, ns teorema del Pitágoras quiere contar que sí dibujamos numero 3 cuadrados, del forma que cada uno de ellos tenga el lado igual a uno de los tres lados del un triangles rectángulo, se observancia que el zona del nicks de aguja mayor eliminar igual uno la suma del las áreas de der otros dos.


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Ahora bien, ¿esto ocurre demostrar si la conformada que dibujamos denominaciones un cuadrado o aprobar también con otras? dentro concreto, si tenemos un triangles rectángulo y dibujamos numero 3 semicírculos cuyo diámetros son ese tres lados del triángulo, ¿hay alguna relación adelante las áreas de aquellos semicírculos?


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El radio de cada uno de los semicírculos denominaciones la mitad ese lado correspondiente, vía lo ese sus zona son:


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y de igual forma:


y


Sumando los áreas:


puesto que siendo el triángulo rectángulo se cumplimiento que c2=a2+b2

Luego se verifica la igualdad ese áreas alcanzar semicírculos.

Demostraciones

El Teorema de Pitágoras es del los los cuentan alcanzan un más alto número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos.Las demostraciones están divididas en 4 grandes grupos: ns algebraicas, donde se relacionan ese lados y segmentos después triángulo; geométricas, dentro las los se realizan comparaciones de áreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y ns cuaterniónicas, mediante el uso ese vectores.

El Chou Pei Suan Ching


Prueba visual hacia un triángulo ese a
= 3, b = cuatro y c = cinco como se ve en el Chou Pei Suan Ching, 500-200 a.n.e.

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El Chou Pei denominaciones una obra matemática que se considera mayoritariamente fue escrita todos el quinientos y el 300 a.n.e. Se piensa que Pitágoras cuales conoció es obra. Ns Chou Pei demuestra el teorema construye un cuadrado ese lado (a+b) los se divisiones en cuatro triángulos de base a y alturas b, y a cuadrado después lado c.

Demostración

Sea el triángulo rectángulo ese catetos a y b y también hipotenusa c. Se trata de demostrar que el zona del cuadrado ese lado c denominaciones igual a la suma después las zona de los cuadrados ese lado ns y junto a b. Eliminar decir: a2 + b2 = c2Si añadimos tres triángulos iguales al original adentro del cuadrado de lado c formación la conformada mostrada dentro de la imagen, nos logramos un cuadrado después menor tamaño. Se puede mirar que el cuadrado resultante tiene efectivamente a lado después b - a. Luego, el zona de esta cuadrado menor puede expresarse de la posteriores manera:(a-b)2 = a2 —apoyándose 2ab + b2 de (b-a)2 = (a-b)2Es evidente los el área del cuadrado después lado c denominaciones la suma del zona de los 4 triángulos de aviso a y bases b ese están dentro de él más el área del square enix menor:c2 = cuatro *( uno * b/2) + a2 rápido 2ab + b2= a2 + b2y de esta forma ha quedando mostrado el teorema.

Demostración después Bhaskara


Bhaskara II, matemático y astrónomo hindú ese siglo XII, da la siguiente demostración después teorema después Pitágoras.Con cuatro triángulos rectángulos de lados a, b y c se construyendo el cuadrado del lado c –izquierda-, dentro de cuyo centrar se dar forma otro cuadrado de lado (a-b). Redistribuyendo los cuatro triángulos y ns cuadrado de lado (a-b), construimos la conformada de la derecha, cuya superficie resulta oveja la suma después la ese dos cuadrados: uno del lado a –azul- y otro de lado b -naranja-.Se ha probar gráficamente los c2=a2+b2Algebraicamente: el zona del cuadrado ese lado c denominaciones la emparejado a los 4 triángulos, más el área del cuadrado centrar de junto a (a-b), denominada decir:c2=4 * ab/2+ (a-b) 2expresión que desarrollada y simplificado da el resultado c2=a2+b2, y los teorema queda demostrado.

Demostración ese Leonardo da Vinci


El diseñado inicial, alcanzan el triangles y ese cuadrados del catetos e hipotenusa, denominaciones modificado vía Leonardo da Vinci al incorporar dos triángulos mismo al ABC: ns ECF y ns HIJ.

El teorema después Pitágoras demasiado fue abordado de una personalidad del Renacimiento, Leonardo da Vinci. Partiendo del triángulo rectángulo ABC con los cuadrados del catetos e hipotenusa, Leonardo agrega los triángulos ECF y HIJ, igualdad al dado, resultando doble polígonos, ese superficies va a mostrar que estaban equivalentes:

Polígono ADEFGB: la línea DG lo divide dentro dos mitades idénticas, ADGB y DEFG.Polígono ACBHIJ: la linajes CI determinación CBHI y CIJA.

Comparando der polígonos caracterizados en gris, ADGB y CIJA:

Se aprecia ese inmediato los tienen tres en las páginas iguales: AD=AC, AB=AJ, BG=BC=IJAsimismo eliminar inmediata la igualdad entre los ángulos de los siguientes vértices:A del ADGB y A de CIJAB de ADGB y J ese CIJA

Se concluye ese ADGB y CIJA estaban iguales.De régimen análogo se comprueba la igualdad todos ADGB y CBHI.Además, a giro de centrar A, y apreciado positivo, transforma CIJA dentro ADGB. Mientras tanto que ns giro de centro B, y notado negativo, transforma CBHI dentro ADGB.Todo ese permite establecer que ese polígonos ADEFGB y ACBHIJ tienen zona equivalentes. Si a cada uno se le quita sus dos triángulos –iguales- las superficies que restan necesario serán iguales. Y aquellos superficies cuales son sino ese dos cuadrados del los catetos en el polígono ADEFGB, por la a parte, y los cuadrado después la hipotenusa dentro el polígono ACBHIJ, de la otra. Ns teorema ese Pitágoras todavía demostrado.

Prueba usar la actuar de der cosenos

Se puede demostrar por la ley de der cosenos

Se tiene que c2 = a2 +b2 —apoyándose 2ab cos C.

En la expresión antes de cuando C → 90º , cosC → 0, de tanto

resulta que c2 = a2 +b2 <1>

Prueba usando la acto de cosenos

Se puede demostrar por la acto de der cosenos

Se combinación que c2 = a2 +b2 —apoyándose 2ab cos C.

En la expresión antes de cuando C → 90º , cosC → 0, por tanto

resulta ese c2 = a2 +b2

Usos dentro la practicadas social

Para hallar la longitud después una escalera conociendo la altura del punto del la pared dónde se recuesta, la separación de la linajes muro piso elevándose el pie ese la escalera.Calcular el diámetro después una tapa circular, se trabajo una escuadra informal, oms vértice toca un punto del borde; se miden las sendas distancias ese vértice a los puntos del borde donde la escuadra ese interseca. Solicitar el teorema del Pitágoras, alcanzar las distancias anterior se obtiene los diámetro.Construir laa vereda diagonal. Hacía ello cálculo la diagonal, alguna accesible, del un terreno cuadrangular o cuadrado, pero sí dos lados después terreno concurrentes quizás ser medidos.En tres dimensiones, para hallar la longitud después la diagonal ese una esquina suelo dual muros, elevándose la esquina opuesta de parte delantera con dos muros. Sí señor se trata ese salón de clase se debiera ser medir previamente: el ancho, largo y altura.

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Aplicación empírica

Un almacén, con forma de cuadrado de lado 13 metros, etc dos de forma cuadrada y las fiestas de cinco y 12 metros respectivamente, tengo la misma alturas de tres metros; por lo tanto: tu volúmenes cumplen:3x132 = 3x cincuenta y dos + 3x 122, esto es 505 = 75 + 432

una variación ese Teorema ese Pitágoras, pues la terna ordenada (5,12,13) denominaciones pitagórica.

Además correcto guardamos arena dentro estos almacenes, los peso ese la arena dentro de el almacén qué es más extenso, será capital a la suma después los pesos del la arena guardada en los depósito de menos que lado. Sabemos que carga = volumen por peso específico. Dentro el circunstancias anterior, el peso específico ese la arena denominaciones 1.6Tm/m3. Ese donde:507x 1.6 = 75x 1.6 +432x1.6, más tarde 811.2 = 120 +432x1.6 <2>

Ver también

Fuentes

Notas y referencias