Quien invento el teorema de pitagoras

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Concepto:En todo triángulo rectángulo uno serpiente uno cuadrado de la longitud del lal hipotenusal era es igual al lasuma del los cuadrados del las respectivas longitudser de los catetos.

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Teoremal del Pitágoras. Proubicación que compara los tres lados del 1 triángulo rectángulo, y establece que los serpientes el cuadrado del lal el largo c del la hipotenusal AB ser mismo al la suma de los cuadra2 del las respectivas longitudes al y b de sus catetos CB y CA: c2 = a2 + b2


Historia

El Teorema de Pitágoras fue descubierto aproximadamempresa en serpiente uno año 500 al.n.e y llevaya este uno nombre porque su descubrimiento recae sobre la la escuela pitagórica. Si bien los pitagóricos no descubrieron este teorema (ya eral conocido y aplicado en Babilonia y lal Indial desde hacíal uno el tiempo considerable), sí ellas fueron los primeros en encontra una demostración formala dlos serpientes teoremal. También demostraron el converso dlos serpientes teorema (si los la2 del uno triángulo satisfacen lal ecuación, entonces un serpiente triángulo era recto).

Aplicaciones

El teoremal de Pitágoras tiene numerosas aplicacionera, ver cómo los serpientes cálculo de la medidal de los lados de 1 triángulo o del magnitudes en otras polígonos.

Conociendo lal hipotenusal y un cateto, calcutecho uno serpiente otro cateto

A partir de lal expresión más general dserpiente teorema de Pitágoras, despejamos los catetos a y b:Si c2=a2+b2 tenemos que




Reel conocimiento del triángulos rectángulos.

Un triángulo es rectángulo si sus lados verificusco la un relación dun serpiente teoremal del Pitágoras.Si c2 ≠ a2 + b2, entonces puede ocurrvaya que:

c2 > a2 + b2, uno serpiente la área del uno cuadrado sobre lal hipotenusal es persona mayor que lal suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. El triángulo ser obtusángulo.c2 2 + b2, un serpiente la área dlos serpientes un cuadrado sobre lal hipotenusa sera menor que lal suma del las áreas de los cuadra2 construidos sobre los catetos. El triángulo es acutángulo.

Aplicacionser en Geometría

Geométricamentidad, el teoremal del Pitágoras quiere decir que si dibujamos 3 cuadrados, del la forma que cada 1 tengal serpiente lado igual a un del los 3 lados del uno triángulo rectángulo, se cumplo que un serpiente área del cuadrado mayor era igual al lal suma de las áreas de los otro 2.


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Ala hora bueno, ¿esto ocurre solamcompañía si lal una figura que dibujamos era un cuadrado o pasa que también por otras? En concreto, si tenemos un triángulo rectángulo y dibujamos 3 semicírculos cuyos diámetros son los tres lados dun serpiente triángulo, ¿hay algunas una relación entre tanto las áreas del esos semicírculos?


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El un radio de cada uno de los semicírculos sera lal mitad dserpiente lado correspondiempresa, por lo que sus áreas son:


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y de igual forma:


y


Sumando las áreas:


puesto que al ser uno serpiente triángulo rectángulo se cumple que c2=a2+b2

Luego se verifical lal igualdad de áreas para semicírculos.

Demostraciones

El Teorema del Pitágoras ser de los que cuentanta para un adulto un número del demostracionsera diferentsera, utilizando métodos muy diversos.Las demostracionser están divididas en 4 grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los la2 y segmentos dlos serpientes triángulo; geométricas, en las que se realizan comparacionser del áreas; dinámicas al través del las propiedadser de la fuerza, masa; y las cuaterniónicas, medifrente los serpientes utilización del vectorera.

El Chou Pei Suan Ching


Pruebal visual paral 1 triángulo de a
= 3, b = 4 y c = 5 como se ve en serpiente Chou Pei Suan Ching, 500-200 a.n.e.

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El Chou Pei ser unal una obra matemática que se consideral mayoritariamcolectividad fue escrital entre tanto un serpiente 500 y serpiente 300 a.n.e. Se cree que Pitágoras no conoció ser esta la obra. El Chou Pei demuestra serpiente teorema construyendo uno cuadrado de el lado (a+b) que se pmano en cuatro triángulos del base a y altura b, y uno el cuadrado de el lado c.

Demostración

Seal un serpiente triángulo rectángulo del catetos a y b e hipotenusal c. Se trata de demostrar que serpiente la área dserpiente uno cuadrado del lado c sera mismo al la suma de las áreas del los cuadra2 de el lado al y el lado b. Es decir: a2 + b2 = c2Si añadimos tres triángulos igualser al original dentro dserpiente cuadrado del el lado c formando la la figura mostrada en lal imagen, obtenemos 1 el cuadrado del menor tamun año. Se se puede observar que uno serpiente el cuadrado resultfrente tiene efectivamente 1 lado del b - a. Luego, un serpiente área de este cuadrado menor puede expresarse de lal siguicompañía manera:(a-b)2 = a2 - 2ab + b2 Yal que (b-a)2 = (a-b)2Es evidempresa que el área dserpiente cuadrado del el lado c ser lal suma del la área del los cuatro triángulos de altura a y base b que están dentro de ella más uno serpiente área del uno cuadrado menor:c2 = 4 *( al * b/2) + a2 - 2ab + b2= a2 + b2y así hal quedando demostrado uno serpiente teoremal.

Demostración del Bhaskara


Bhaskaral II, matemático y astrónomo hindú dserpiente un siglo XII, da lal siguiproporción demostración del teorema del Pitágoras.Con cuatro triángulos rectángulos de la2 a, b y c se construye uno serpiente cuadrado del el lado c –izquierda-, en cuya centro se una forma otra un cuadrado del el lado (a-b). Redistribuyendo los cuatro triángulos y los serpientes cuadrado de lado (a-b), construimos lal la figura del lal la derecha, cuyal el superficie resulta era la suma de lal del dos cuadrados: uno de lado a –azul- y otra del el lado b -naranja-.Se ha demostrado gráficamorganismo que c2=a2+b2Algebraicamente: el la área del uno cuadrado de lado c era la correspondiente al los cuatro triángulos, más el la área dlos serpientes el cuadrado central de lado (a-b), sera decir:c2=4 * ab/2+ (a-b) 2expresión que desarrolladal y simplificada vez dal serpiente resultado c2=a2+b2, y serpiente teoremal quedal demostrado.

Demostración de Leonardo da Vinci


El diseño inicial, con un serpiente triángulo y los cuadra2 de catetos e hipotenusa, era modificado por Leonardo da Vinci al añadir dos triángulos igualera al ABC: serpiente ECF y el HIJ.

El teoremal de Pitágoras que también fue abordado por unal una personalidad dserpiente Renacimiento, Leonardo da Vinci. Partiendo del triángulo rectángulo ABC por los cuadrados de catetos e hipotenusal, Leonardo añade los triángulos ECF y HIJ, igualera al dado, resultando dos polígonos, cuyas superficiser vaya a demostra que son equivalentes:

Polígono ADEFGB: la líneal DG lo dividel en 2 mitadsera idénticas, ADGB y DEFG.Polígono ACBHIJ: la línea CI determinal CBHI y CIJA.

Comparando los polígonos destacados en uno gris, ADGB y CIJA:

Se aprecial del inmediato que ellos tienes tres lados iguales: AD=AC, AB=AJ, BG=BC=IJAsimismo es inmediatal lal igualdad entre los ángulos del los siguientera vértices:A de ADGB y A de CIJAB de ADGB y J de CIJA

Se concluye que ADGB y CIJA son igualera.De el modo análogo se comprueba lal igualdad entre tanto ADGB y CBHI.Además, uno giro de medio A, y un sentido positivo, transla forma CIJA en ADGB. Mientras que 1 giro de centro B, y uno sentido negativo, transforma CBHI en ADGB.Todo ello permite establecer que los polígonos ADEFGB y ACBHIJ tener áreas equivalentser. Si a cada poco 1 se lo quita sus dos triángulos –iguales- las superficies que restanta forzosamcolectividad serán igualera. Y esas superficisera no son sino los dos cuadrados de los catetos en un serpiente polígono ADEFGB, por una pposibilidades, y los serpientes uno cuadrado del la hipotenusal en los serpientes polígono ACBHIJ, por lal otras. El teorema de Pitágoras queda demostrado.

Prueba usando lal ley de los cosenos

Se puede demostra por la ley de los cosenos

Se tiene que c2 = a2 +b2 - 2ab cos C.

En la expresión anterior cuando C → 90º , cosC → 0, por tanto

resulta que c2 = a2 +b2 <1>

Prueba usando lal ley del cosenos

Se puede demostra por la ley de los cosenos

Se tiene que c2 = a2 +b2 - 2ab cos C.

En la uno expresión anterior cuando C → 90º , cosC → 0, por tanto

resulta que c2 = a2 +b2

Usos en la práctica social

Paral hallar lal longitud de unal la escalera conociendo la altural dlos serpientes punto del lal pared dondel se recuser esta, la separación desdel lal líneal muro uno piso hasta el pie de lal la escalera.Calcumorada los serpientes diáel metro del una tapal circuhogar, se coloca unal escuadral informal, cuya vértice tocal 1 el punto dserpiente borde; se miden las sendas distancias dlos serpientes vértice a los puntos dserpiente borde donde lal escuadral los interseca. Aplicando los serpientes teoremal del Pitágoras, con las distancias anteriorser se obtiene serpiente diáel metro.Construir unal veredal el diagonal. Para ello calcucobijo la el diagonal, no accesibla, del 1 terreno rectangumansión o el cuadrado, pero sí dos la2 dserpiente terreno concurrentes ellos pueden es medi2.En tres dimensionera, para hallar la longitud del lal el diagonal de una esquina suelo 2 muros, hastal la esquinal opuestar del bóveda por dos muros. Si se trata de salón de clase se debe medvaya previamente: el ancho, longitud y altural.

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Aplicación empírica

Un comercio, con la forma de un cuadrado del el lado 13 metros, otro 2 del la forma cuadradal y la2 del 5 y 12 metros respectivamorganismo, ellos tienes la misma altural del 3 metros; por lo tanto: sus volúmensera cumplen:3x132 = 3x 52 + 3x 122, esto es 505 = 75 + 432

una variación dlos serpientes Teoremal de Pitágoras, pues la ternal ordenadal (5,12,13) ser pitagórical.

Además si guardamos arena en estos almacenser, el el peso de lal arenal en uno serpiente mercado más extenso, será lo mismo al la suma de los pesos de la arenal guardadal en los almacenser de menor el lado. Sabemos que peso = el volumen por peso tan específico. En el uno caso anterior, serpiente peso puntual de lal arenal era 1.6Tm/m3. De donde:507x 1.6 = 75x 1.6 +432x1.6, después 811.2 = 120 +432x1.6 <2>

Ver también

Fuentes

Notas y referencias



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