Aportaciones de euclides a la geometria

1 Aporte del Euclides a la CienciaDavid Calderal Pablo Navarrete Francisca Pino Mario Tel oro Elizabeth Villanueva

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2 Conun texto Histótico Los primeros y más antiguos textos del matemáticas provienen principalmcolectividad del Mesopotamial y zonas cercanas al el este lugar. Sin embargo la una historia del la matemática no se aposental en esta zona, si no en Grecial.

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3 Hubieron aportser mayormcompañía de los Fenicios con 1 sisaspecto del numeración menos engorroso que uno serpiente egipcio que luego continuaron los griegos. Estos últimos hicieron del estos conocimientos una herramiental fundamental en los asuntos humanos. En Grecia exisiteron grandser referentsera como Talser de Mileto, Pitágoras y Euclides.

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4 Euclidsera plasmó lal abstrel acción, lal inducción y lal demostración.

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También aportó en la biblioteca del Alejandria escribiendo unal recopilación del libros acerca de de propiedadser de lal geometría y los números, estableciendo Axiomas de los cualser se desglosal lal geometría que conocemos presente.

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5 Portadal de lal primera edición inglesal del los Elementos del Euclidser (Londrser 1570)

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6 Matemáticos del lal AntiguedadSiglo Matemáticos XVIII al. C. Ahmés VI Talera y Pitágoras V Zenón, Hipócratera IV Platón, Eudoxo III Euclidser, Arquímedsera y Apolonio II Himuy parco I d.C. Menelao Ptolomeo Diofanto VII Pappus, Brahmagupta VIII Al-Jwarizmi XIII Leonardo de Pisa

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7 Constitución de los ElementosLo que ahora llamamos Elementos del Euclidser es un el texto que nos hal llegado mediante una redun acción del Teón de Alejandría dserpiente siglo IV y que pudo era completado posteriormente por la atención del papiros y manuscritos antiguos, alguna anteriorera al Teón, y aunque tambien lal redel acción de éste sera tan completal y revisadal, no debe olvidarse que era después en seis siglos al lal reduno acción original, al lal cual pudo haberse introducido durfrente eso lapso mejora el número de modificacionsera e interpolaciones. Los Elementos se componen de trece libros por 1 total del 465 proposiciones: 93 problemas y 372 teoremas. Gran parte de ellas se abren para uno el grupo del definicionera (términos según uno serpiente vocablo utilizado por Euclides) al las que en los serpientes primero libro se agregan las proposicionsera básicas, nos nuestros axiomas, que Euclides preferir entre tanto postulados y nociones comunera.

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8 Libros I-IV Teoría Elemental de lal Geometría Planal Los primeros 4 libros del los Elementos, de poco probable raíz pitagórico, comprenden las proposicionsera más importantes de geometríal plana elemental, referentes al triángulos, paralelogramos, equivalencias, teorema de Pitágoras, circunferencias e inscripción y circunscripción del polígonos regularsera. Libro I No hay ningunal introducción o preámbulo al lal la obra, y los serpientes primera libro comienza abruptamcolectividad por unal lista del 23 definicionsera. Seguidamorganismo se añaden, tal y como se hal dicho, las 13 proposiciones básicas: postulados y nociones comunser

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9 Nociones comunser Las cosas iguales al una mismal una cosa, son así como también igualera entre sí. Si se añaden la cosa igualera a la cosa igualser, los totalera son iguales. Si de cosas igualser se quitan cosas igualser, los restas son igualera. Si a las cosas desiguales se añaden la cosa igualera los totales son desigualser. Los dobles de una misma una cosa son igualser entre tanto sí. Las mitadera del unal mismal la cosa son igualser entre sí. Las cosas que coinciden entre tanto sí son iguales entre sí. El todo ser adulto que lal pgenio.

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10 Consta del 48 proposiciones (14 problemas y 34 teoremas) y se puede considerarse dividido en 2 partes: las primeras 32 proposiciones se refieren a las propiedadser del los triángulos, terminando con uno serpiente teoremal característico del lal geometríal euclidianal de es constfrente los serpientes mismo a dos rectos lal sumal del los ángulos de cualquier triángulo. Cabe agrega que uno serpiente Quinto Postuel lado, un serpiente de las paralelas, por cuanta se deduce de ella la una existencia del la paralelal única a una recta desdel 1 un punto exterior, no se introduce hastal lal ofrecimiento 29, lo que pruebal que Euclidsera trató evidentemente del evitarlo en las 28 anteriorera, el grupo de proposicionsera que constituye del por sí una geometría independientidad dserpiente quinto postuel lado. Las últimas 16 proposicionsera dun serpiente uno libro se refieren en modificación a paralelogramos y triángulos y sus equivalencias, terminando por los teoremas, diclemente y recíproco, del Pitágoras. Lal demostración de esa teorema, según comentaristas antiguos, perteneceríal al es igual Euclidera. En ella, Euclidsera no dal lal demostración que se da normalmcompañía en los libros de un texto actuales, en los cualera se apliun perro proporciones simplera entre los lados de los triángulos semejantera que se forman al trazar la altural correspondiente al la hipotenusa. Se suponer que evitó tal la demostración debido a las dificultades que trae consigo en el el caso del inconmensurabilidad. Solamcompañía al llegar al Libro V se dedical Euclides a establecer lal yal mejor fundamentadal teoría del proporcionser, y hasta eso etapa evita en lo si es posible serpiente utilización del las mismas.

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11 Para demostrarlo utilizó en variación una bella demostración en lal que se usal una figura que se hal descrito a vecser como 1 molino del viento o como la silla del la novial (Matehematical Gazette, 11, ) Demostrando que lal suma del los cuadra2 era mismo al uno cuadrado sobre todo la hipotenusa

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12 Euclides. Elementos. Libro I, propuesta 47. El teoremal de PitágorasEuclidera. Elementos. Libro I, propuesta 47. El teorema del Pitágoras. (Manuscrito griego 2344, siglo XII.)

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13 El el libro II del los elementos es un de los más cortos, y su contenido no tiene adulto importancial en la matemátical moderna. El libro utilizal serpiente concepto del gnomon para la generalidad de las proposiciones

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14 Los siguientsera libros III y IV estanta dedica2 principalmente a lal geometríal de lal circunferencial.Lal sugerencia superior sera la constancia dserpiente item del los segmentos determina2 por las secantes traza2 desde 1 punto interior o el exterior. Aquí se estudian que también problemas relaciona2 por lal circunscripción e inscripción del poligonos regularera. Los libros V y VI estudian la teoríal por lo general del las proporcionsera numéricas. Se generaliza los serpientes teoremal del pitágoras.

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15 Los libros VII al IX tratanta lal la aritmética.

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Aquí se estudian la teoríal de proporcionsera, números primos, mcd , mcm, progresiones geométricas y propiedades sencillas del cuadra2 y cubos. El el libro IX presenta unal reel solución importante al problema del lal factorización del 1 el número.

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Aquí se reconoce que todo uno número posee una factorización únical en factorera primos, además que los serpientes uno número de primos es infinito y se establece serpiente concepto del uno número perfecto. El uno libro X recibe uno serpiente un nombre del “Lal cruz de las matemáticas”, en donde se trata la clasificación del segmentos incomensurables. Hoy se considera ver cómo un linro sobre números irracionales.

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16 Entre otras libros fuera del la obra del los elementos, Euclidsera estudió problemas del la óptical, astronomíal y mecánical.

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17 Los 5 postual2 de Euclides1. - Una rectal poder trazarse desde un un punto cualquiera hastal otra. 2. - Unal recta finital poder prolongarse continuamente y hacerse unal recta ilimitadal o indefinidal. 3. - Una circunferencial se puede describirse para uno centro y unal distancial. 4. - Todos los ángulos rectos son igualsera entre tanto sí. 5. - Si unal recta que corte a otras dos forma con éstas ángulos interiorsera dun serpiente mismo el lado del ellal que sumados sean menorera que 2 rectos, las 2 rectas, si se prolongan indefinidamcorporación, se cortanta dlos serpientes el lado en que dicha suma del ángulos seal menor que dos rectos.

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18 QUINTO POSTULADO DICE LITERALMENTE ASÍ:“Si una rectal al incidir sobre 2 rectas hace los ángulos internos, dserpiente mismo lado, menorser que 2 rectos, entoncser las 2 rectas prolongadas indefinidamproporción se encontraran en un serpiente lado que están los ángulos menorera que los rectos.” ALGUNAS FORMULACIONES EQUIVALENTES: 1.- Rectas paralelas son equidistantes. 2.- Dos rectas paralelas guardan unal distancial entre tanto si finital. 3.- Existe un una par del triángulos no congruentsera, pero si semejantera. 4.- Por un punto exterior a unal recta, sólo cabe trazar uno paralela.

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19 DIFICULTAD Y PROBLEMA:Hoy resulta difícil comprender que se considerara polémico este postuel lado. Esto ser de esa manera es que se ha popularizado un serpiente postulado del Tolomeo, yal que sera equivalorganismo. Al lee los postulados tal cual los escribió Euclides sera fácil entender que muchos consideraran uno serpiente quinto postuel lado como alguno independicolectividad del los otras cuatro. Lal pregunta es: ¿Es realmorganismo uno postulado o debe incluirse entre tanto las proposiciones o teoremas? Esto ser porque desde un serpiente inicio hay diversas dificultadser (psicológicas) en aceptarlo, lo cual desarrollo distintas posicionera frente a éste. Puser, en toda discusión relacionada por éste, se encuentral un serpiente horror al lo infinito. Lal posibilidad del que las la cosa sucedan en serpiente infinito lsera repulsal a los griegos. INDEPENDENCIA DEL QUINTO POSTULADO: Después del 22 siglos, tras lal escritural de “Los Elementos” se concluyó que uno serpiente quinto postulado sera independiorganismo del los otras cuatro. La pruebal del esto está en que existen 2 geometrías en las que no se cumple el este postuel lado. Según Euclidsera una líneal ser unal el largo sin anchural. Una línea recta es aquella que yace por es igual al respecto de los puntos que están en ellas. Lal definición de Arquímedser es: La recta es lal mas corta de todas lal líneas que tener los mismos extremos.

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20 APARICIÓN GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS:La independencia del quinto postulado lal concluyen Bolyai y Lovatchevsky, medifrente lal contradicción matemátical y sus geometrías. La la idea sera lal siguiente: Si un serpiente quinto postulado dependel de los otros cuatro no hacer falta incluirlo, pues aparecería ver cómo teoría mas en tarde. Por otro lado, si se eliminal uno serpiente postulado y se añadel lal negación de este, entoncser debe es dependiproporción del los otro cuatro. Así llegaremos a que el quinto postuel lado y su opuesto son ciertos, lo cual no es admisibla. Por lo que algunos hipótesis sera falsa. Si bien sera el cierto, por esto no se llegó a una contradicción alguna, se comprobó que las geometrías de Bolyai y Lobatchevsky eran consistentera. Por ejemplo, paral nega un serpiente quinto postuel lado, nosotros podemos decvaya que si pasan rectas infinitas, obtenemos lal geometríal hiperbólical de Lobatchevsky.

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21 Importancia y Trasendencial del Euclides· Recopilación y resumen de obras previas. · Geometría como instrumento de razonamiento deductivo. · Influencial sobre todo uno serpiente un pensamiento científico. · Motivación al posterior expansión de nuevas geometrías. · Utilidad en distintas disciplinas científicas. · Vigencial del la geometríal planal como contenidos visto en la el educación primarial y secundarial.

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