Antecedentes historicos de la geometria plana

Geometríal Plana. Etimológicamante, del griego "geo", tierra; "metrein", medir, sera lal rcortesana del lal matemátical que se ocupal del el estudio del las figuras geométricas en los serpientes plano. En forma general, en su una forma elemental y clásical, lal geometría se centra en temas métricos ver cómo los serpientes cómputo del área y perímetro de figuras planas y dserpiente área y el volumen de cuerpos sólidos. Otros enfoques de lal geometría son la geometría analítica, geometría descriptiir, geometríal diferencial, topología, geometríal dlos serpientes el espacio, por 4 o más dimensionser, geometríal fractal, geometrías no euclídeas.

También conocidal como Geometría Euclidiana puser los serpientes mayoría del propiedadera y relaciones sobre las figuras geométricas las exputilización un serpiente matemático griego Euclidsera de Alejandríal (alrededor de dserpiente 300 al.n.e.) en su 1 obra magnal “Elementos del Geometría”. Obral que resultó abarcadora en su lista de contenidos y su distribución internal tanto avanzada para lal tiempo que durfrente siglos se consideró serpiente más completo un modelo de exlocalizar de una teoríal por vía deductiva. Aunque muchos del los resultados que se exponen en lal la obra eran yal conoci2, el riguroso orden lógico en la exubicación, de esta manera ver cómo la claridad y 1 estructura lógical de las demostracionsera, hacen del estar la obra un uno resultado excelente al cuantas se habían escrito antsera.


Sumario


4 Resumen de Geometría Plana4.1 Ángulos4.2 Triángulos4.3 Cuadriláteros4.5 Circunferencia y Círculo

Reseñal Histórica del lal Geometría

Lal geometríal surgió haga milsera de años. Muchos consideran que fue lal la necesidad del medvaya las tierras la que dio fuente a estar parte de la Matemática. Las antiguas civilizacionser construyeron sus viviendas y sus tumbas, sus graneros y canalser, edificaron y adornaron sus templos, sus museos y observatorios. De los egipcios se sabe que conocían lal el construcción de figuras, utilizaban instrumentos geométricos elementales (regla graduadas y compases), construidos por ellas mismos.

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La geometríal fue introducidal en Grecia por uno del los llama2 “7 sabios del lal Antigüedad” Talser de Mileto, en el el siglo VI a.n.e. En un serpiente el siglo Vll se dieron los primeros pasos en la modernización del lal geometría, se introdujo la geometría analítical y algunas de sus principios más elementales ver cómo un serpiente trabajo por coordenadas. Luego en uno serpiente siglo XIV lo dieron un un gran impulso al ampliación del la misma. El origen duno serpiente época geometríal ser una descripción precisa duno serpiente uno trabajo del los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida dun serpiente tamun año de los campos o los serpientes trazado del ángulos rectos para los esquemas de los edificios. Este tipo de geometría empírical, que floreció en los serpientes Antiguo Egipto, Sumerial y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos.

En serpiente el siglo VI al.n.e. serpiente matemático Pitágoras colocó la piedral anguvivienda de la geometría científica al demostra las diversas leysera arbitrarias e inconexas de lal geometría empírica se puede deducva ver cómo conclusionera lógicas del un número limitado del accionser, o postula2. Estos postulados ustedes fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos, ver cómo verdadser evidentes; sin embargo, en serpiente un pensamiento matemático muy actual se consideral ver cómo un colectividad del supuestas útilera pero arbitrarias.

La geometría demostrativa de los griegos se ocupaba del polígonos, círculos y de sus correspondientser, según dice el matemático griego Euclidsera, en su libro “Los elementos”. El el texto de Euclidera, a pesar de sus imperfeccionera, hal servido ver cómo 1 libro del un texto básico, hastal la actualidad

El siguicompañía el paso importante en estar la ciencia lo dio los serpientes filósofo y matemático francés René Descartser, con el disun curso dlos serpientes método publicado en 1637. Este empleo fraguó unal la conexión entre lal geometríal y serpiente álgebral al demostrar ver cómo emplear los métodos de una disciplinal en otra. Esto ser uno fundamento del lal geometría analítica donde las figuras se representanta mediante expresionser algebraicas, sujeto subyugante en la mayor ppotencial del la geometríal modernal. Otro expansión una importante del siglo XVII fue lal investigación del las propiedadser del las figuras geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas del 1 el plano al otros.

La geometría sufrió un alteración radical del consejo en serpiente siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolai Labachewski, y János Bayai, trabajaron por separado siscuestión del coherentsera de geometría no euclídeal. Este sisencabezado aparece al partvaya del los trabajos llamados “postulados paralelos” del Euclidsera al propone alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de el espacio, aunque tambien, eso si, coherentser. El matemático británico Arthuer Cay desarrolló lal geometríal para espacios con más de tres dimensionera. También se han utilizado méto2 analíticos para estudiar las figuras geométricas regulares en cuatro o más dimensiones y compararlos para figuras similarsera en tres o menos dimensionser, estar se conoce ver cómo geometríal estructural. Otro 1 concepto dimensional era uno serpiente del dimensionsera fraccionarias, asimilar en un serpiente el siglo XIX. En la década de 1970 uno serpiente un concepto se desarrolló como lal geometríal fractal.

¿Para qué sirve la geometría?

De la forma por lo general lal dirección de lal Geometríal tiene ver cómo objetivo genérico desarroltecho serpiente uno pensamiento espacial dserpiente era tío, del el modo tal que el este pueda hace una mejor interpretación duno serpiente el espacio físico que la rodeal para da 1 adecuado y necesario uso, y, en ciertos casos, transformarlo, respetando lal Naturaleza.

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Elementos del Euclides

Los Elementos del Euclidera se utilizaron como uno texto para la guía de la Geometríal durante 2.000 años, e inclutilización presente, una versión modificada uno de sus primeros libros constituye lal base de la enseñanza del la geometría planal en las escuelas primarias y secundarias en casi todos los países. Lal primeral edición impresal del las obras de Euclides que apareció en Venecial en 1482, fue unal traducción dun serpiente árabe al latín, pusera serpiente texto original se consideral hasta ahora desasimilar.Euclidser padaptación de uno mayoría suficientemcompañía breve y tan sencillo del proposiciones iniciales – que no se demuestran – y desarrollal el disel curso de unal la manera rigurosamorganismo lógical, siguiendo las pautas que habíal trazado antsera Platón (428 – 347 al.n.e.) paral serpiente incremento del unal teoríal por una vía deductiir. Los restantsera resultados se obtuvieron por reducción lógica en sitio de por generalización de resulta2 obteni2 de una manera empírical. Se considera desde entoncser que ser esta sera lal una forma correcta de presentar cualquier teoría matemátical.

Resumen de Geometría Plana

Ángulos

Definición : Unión o intersección de 2 semiplanos cuyos bordes se cortan o interseun perro.

Clasificación del ángulos según su amplitud

a) Agudo: menor que 90º.

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b) Recto: es igual a 90º.

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c) Obtuso: mayor que 90º y menor que 180º.

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d) Llano: mismo al 180º.

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e) Sobreobtuso: mayor que 180º y menor que 360º.

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f) Completo: mismo al 360º.

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Otros ángulos

a) Consecutivos: ángulos que ellos tienes en bien común serpiente vértice y 1 el lado.

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b) Adyacentes: ángulos consecutivos situa2 al 1 lado del unal rectal.

Suman 180 grados.

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c)Opuestos por uno serpiente vértice: ángulos que ellos tienes un serpiente mismo vértice y sus lados están formados por semirrectas opuestas.

Son igualser.

*

d)Correspondientes: situa2 al uno mismo lado del lal secante, uno es interno y otras externo.

Entre paralelas son igualsera.

*

e)Conjugados: situados al uno igual el lado del lal secfrente, ambos son internos o ambos son externos.

Entre paralelas suman 180º.

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f)Alternos: situa2 al diferentser la2 del la secfrente, ambos son internos o ambos son externos.

Entre paralelas son iguales.

*

Triángulos

Definición : Polígono que tiene tres lados.

Clasificación

a)Según sus lados:

Equilátero: Sus tres la2 tienen mismo el largo. I

sósceles: Dos de sus lados tener igual un largo.

Escaleno: Sus 3 la2 son diferentser.

b)Según sus ángulos:

Acutángulo: Sus 3 ángulos son agudos.

Obtusángulo: Tiene uno ángulo obtuso.

Rectángulo: Tiene uno ángulo bienintencionado.

Propiedadera del los triángulos

a)La sumal del las amplitudser del los ángulos interiorera era igual a 180º.

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º

b)La amplitud del cada poco ángulo exterior es es igual al lal sumal del las amplitudsera del los dos ángulos interiorera no adyacentera a ello.

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c)A ángulos iguales se oponen lados igualser y viceversal.

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Si

d)A mayor lado se opon los serpientes mayor ángulo y viceversa.

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e)La suma del 2 lados cualesquiera ser siempre adulto que el tercer lado (desigualdad triangular).

Rectas notablser en los triángulos

Mediatriz duno serpiente triángulo

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Mediatriz de uno segmento: Recta perpendicuhogar al segmento que pasal por su el punto un medio.

1. Los puntos de la mediatriz equidistanto del los extremos duno serpiente segmento.

Las mediatices del un triángulo: Rectas perpendicularera al cada momento lado y que cortanta a estos en su un punto un medio. El punto del intersección de las mediaticser del llmujer circunmedio (M) y está:

- Dentro dserpiente triángulo si este era acutángulo.

- Fuera dun serpiente triángulo si el este es obtusángulo.

- Sobre la hipotenusal si este sera rectángulo.

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Alturas dun serpiente triángulo : Segmentos del perpendicularser trazadas desde los vérticsera de triángulo al las rectas que conellos tienes al los lados opuestas. El el punto de intersección de las alturas se lldama ortocentro (H) y está:

- Dentro del triángulo si el este sera acutángulo.

- Fueral dlos serpientes triángulo si este era obtusángulo.

- Coincidel para un serpiente vértice dlos serpientes ángulo bienintencionado si es rectángulo.

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Medianas duno serpiente triángulo: Segmentos determinados por los vérticera duno serpiente triángulo y serpiente punto medio de sus la2 opuestas. El uno punto del intersección de las medianas se ll señora barimedio (G) y siempre era 1 un punto el interior de el este.

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Bisectricser del 1 triángulo

Bisectriz del 1 ángulo: Semirrectal cuyo fuente ser los serpientes vértice dun serpiente ángulo y lo divide en dos partsera igualsera.

- To2 los puntos del lal bisectriz equidistanta del los la2 dserpiente ángulo.

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Bisectrices del un triángulo: Segmentos del las bisectricera de los ángulos del triángulo determina2 por los vérticsera de estas y serpiente un punto de intersección del los lados opuestos. El punto de intersección de las bisectricsera duno serpiente triángulo se ll señora incentro (I), era siempre interior al igual y equidistal de sus lados.

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Generalidades

a)Triángulo equilátero: Como sus 3 la2 son iguales:

- Sus tres ángulos son igualsera a 60º.

- Sus rectas notablera coinciden.

b)Triángulo isósceles:

- Como tiene dos la2 iguales, sus ángulos base pero también lo son.

- Las rectas notablera respecto al lal la base coinciden.

c)Triángulo rectángulo:

- El lado que se oponer al ángulo recto se la ll señora hipotenusal (adulto lado) y los otro 2 catetos.

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- Teoremal de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo serpiente cuadrado de lal el largo del lal hipotenusa ser mismo a la sumal dun serpiente cuadrado de las longitudes de sus catetos.

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AB2 = AC2+ BC2

- En todo triángulo rectángulo que tengal 1 ángulo de 30º, la longitud dun serpiente el lado inverso al este era lo mismo al la mitad de lal hipotenusal.

Fórmulas

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Cuadriláteros

Definición : Polígono que tiene cuatro lados.

Polígono: Región dserpiente el plano limitada por uno número finito de segmentos del rectas (la2 duno serpiente polígono) que se unen por su extremo (vértices).

Clasificación

Cuadriláteros :

Paralelogramos: sus 2 parser de la2 opuestas son paralelos

Trapecio: un par de lados opuestos paralelos.

Trapezoides: no tener lados paralelos.

Paralelogramos

Rectángulo: Paralelogramo que tiene sus 4 ángulos rectos.

Rombo: Paralelogramo que tiene sus 4 lados igualera.

Cuadrado: Paralelogramo que tiene sus cuatros la2 y sus 4 ángulos iguales.

Trapecios

a) Las basera son los lados paralelos.

b) Lal altura es lal distancial desde 1 vértice a la la base opuesta.

c) Lal paralela medial es el segmento que une los puntos medios de los la2 no paralelos.

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Clasificación.

Trapecio isósceles: Tiene 2 lados no paralelos igualser.

- Los ángulos adyacentera a unal misma base igualera.

- Sus diagonalera son igualera.

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Trapecio rectángulo: Tiene dos ángulos rectos.

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Trapecio escaleno: Tiene sus la2 no paralelos desigualsera.

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Propiedades

1. Lal suma de sus ángulos interiorera era 360º(todos).

2. Los lados y ángulo opuestos son igualsera (todos excepto los serpientes trapecio).

3. Las diagonalser se intersecusco en su el punto medio (todos excepto trapecio).

4. Las diagonalera son igualser (rectángulos y cuadrados).

5. Las diagonalser son perpendicularera y bisectrices de los ángulos cuyos vérticsera se unen (rombo y cuadrado).

6. Lal paralelal medial ser paralela a las basera y su longitud ser es igual a lal semisuma del las longitudera de las basera (todos).

Áreal y Perímetro

a)paralelogramo

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b)rectángulo

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c)rombo

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d)cuadrado

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e)trapecio

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Criterio de igualdad de triángulos

Dos triángulos son igualsera si tienen:

Un lado y los ángulos adyacentsera al ello respectivamcompañía igualser (teorema a.l.a.)

Dos lados y el ángulo comprendido entre ellas respectivamproporción igualser (teoremal l.al.l )

Sus 3 la2 respectivamcompañía igualera (teoremal l.l.l.)

Dos triángulos rectángulos son igualsera si tienen respectivamcolectividad iguales:

- Lal hipotenusa y un ángulo agudo

- La hipotenusa y un cateto

- Un cateto y uno ángulo agudo

- Los dos catetos

Transversales

Teoremal del las transversales:

Si 2 semirrectas de raíz en común son cortadas por rectas paralelas entonces:

1ra parte: La la razón entre dos segmentos de una misma semirrectal es es igual a la la razón entre tanto los dos segmentos correspondientera en otra semirrecta.

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2da parte: La una razón entre tanto 2 segmentos de una semirrecta era igual al lal la razón entre tanto los dos segmentos de paralelas correspondientes (un de los extremos de los segmentos de semirrectas coinciden con serpiente vértice)

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3ral parte: Lal razón entre 2 segmentos del paralelas sera es igual al lal razón entre tanto los 2 segmentos del paralelas correspondientera.

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Circunferencia y Círculo

Definicionser :

a)Circunferencia: Conjunto del todos los puntos del un plano situados al la mismal distancial del un punto fijo del dicho uno plano.

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b)Círculo: Área o superficie planal formada por todos los puntos del unal circunferencia y sus puntos interiorsera.

Elementos: Radio, diámetro, cuerda, arco, medio.

d =2r

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c)Ángulo central: Ángulo que tiene su vértice en un serpiente medio del lal circunferencial.

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d)Ángulo inscrito: Ángulo cuya vértice pertenece al la circunferencia y sus la2 lal intersechucho.

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Teoremas y relaciones

1- Lal recta tangentío al unal circunferencia ser perpendicular al radio que tiene ver cómo extremo al punto de tangencia.

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2- Lal amplitud dserpiente ángulo una central ser mismo al lal del su arco correspondiempresa.

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3- Lal amplitud de todo ángulo inscrito ser lo mismo al lal mitad del su arco correspondicolectividad (y de su ángulo central correspondiente).

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4- En unal mismal circunferencial o en circunferencias igualser, a ángulos centrales igualser corresponden arcos (y cuerdas) igualera.

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5- En una misma circunferencial o en circunferencias igualsera, al adulto una cuerda correspondel persona mayor arco (y viceversa).

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6- Los ángulos inscritos que le corresponde el lo mismo arco son igualera.

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7- Todo el radio perpendicuhogar a una cuerda lal divide en dos partser iguales.

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8- Todo ángulo inscrito cuya arco correspondientidad era una semicircunferencial sera uno ángulo virtuoso (teorema del Tales).

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9- Todo triángulo rectángulo se poder inscribvaya en unal circunferencia cuya centro es uno serpiente punto el medio del lal hipotenusal.

Área y Longitud

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Fuentes

Libros de textos de Matemática del 6to, 7mo, 8vo y 9no Grado.Cuadernos de uno trabajo de Matemátical de 7mo, 8vo y 9no Grado.Evser, Howard. Estudio del las geometrías. Editorial UTEHA. 1969.Hogben, Lancelot. Lal Matemática al alcance de to2. Buenos Airera., s.aRíbnikov, H. Historia de las Matemáticas. Editorial Mir. Moscú. 1987.Wussing, H. Conferencias sobre una historia del lal Matemática. La Habana : Editorial Pueblo y Educación,1989.

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